भारत से संख्या सिद्धांत के सैद्धांतिक अटकलों पर नए निष्कर्ष जल्द ही निकल सकते हैं। वैज्ञानिक स्टार्क अनुमानों, संख्या सिद्धांत में एल-फक्शन के प्रमुख शब्दों के बारे में काल्पनिक जानकारी के नए मामलों पर काम कर रहे हैं। इन अनुमानों में हिल्बर्ट की 12वीं समस्या के प्रत्यक्ष प्रयोग हैं जो बीजीय संख्या सिद्धांत में केंद्रीय समस्याओं में से एक है। इस सिद्धांत का क्रिप्टोग्राफी में महत्व है, उदाहरण के लिए क्रिप्टोकरेंसी में उपयोग के लिए गोल वक्र बनाने के लिए।

संख्या सिद्धांत पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद समीकरणों के पूर्णांक समाधानों के अध्ययन की चिंता करता है। ऐसे समीकरणों को हल करना, सामान्य तौर पर चुनौतीपूर्ण है। इनका अध्ययन विभिन्न आवृत्तियों-फंक्शन, मात्रा या संपत्ति को मिलाकर किया जाता है, जो एक विशिष्ट परिवर्तन लागू होने पर अपरिवर्तित रहता है। यह बहुत ही क्लासिकल, फलदायी, और बहुत अधिक अध्ययन किया जाने वाला अपरिवर्तनीय एल-फंक्शन (जटिल विमान पर कार्य, गणितीय वस्तुओं की कई श्रेणियों में से एक से संबंधित) है। आधुनिक संख्या सिद्धांत में कुछ बड़ी समस्याएं पूर्ण रूप से अंकगणितीय वस्तुओं के संदर्भ में पूर्णांक बिंदुओं पर एल-फंक्शन के मूल्यों के लिए सटीक सूत्र प्रदान करने से संबंधित हैं। भारतीय विज्ञान संस्थान, बेंगलुरु में गणित विभाग से प्रोफेसर महेश काकड़े, विज्ञान और प्रौद्योगिकी विभाग, भारत सरकार द्वारा स्थापित इस वर्ष की स्वर्ण जयंती फैलोशिप प्राप्त करने वालों में से एक हैं। उन्होंने बीजगणित के के-सिद्धांत और मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत सहित विभिन्न तरीकों का उपयोग करके ऐसे सटीक सूत्रों को साबित करने पर ध्यान केंद्रित किया है।

प्रोफेसर काकड़े का हालिया काम 1970 के दशक में अमेरिकी गणितज्ञ हेरोल्ड स्टार्क द्वारा किए गए अनुमानों को साबित करने पर केंद्रित है, जिसमें एल-फंक्शन की अग्रणी शर्तों से संबंधित विशेष तत्वों के अस्तित्व को दर्शाया गया है। स्वर्ण जयंती फेलोशिप के समर्थन के साथ, प्रो. काकड़े ने विभिन्न स्टार्क तत्वों के बीच गहरे संबंधों को साबित करने के लिए पूरी तरह से उपन्यास पद्धति का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। इस तरह के संबंध केवल बहुत ही विशेष मामलों में सिद्ध हुए हैं, और इन मामलों में, स्टार्क अनुमान पहले से ही ज्ञात हैं। वह अपने तरीके से किए गए रिसर्च का उपयोग करना चाहते हैं। साथ ही स्टार्क के नए मामलों को साबित करने के लिए गणितज्ञों आर्मंड ब्रुमर, बेनेडिक्ट ग्रॉस और हेरोल्ड स्टार्क द्वारा किए गए शोध से परिणामों का उपयोग करना चाहते हैं।

(अधिक जानकारी के लिए, प्रोफेसर महेश काकड़े (maheshkakde[at]iisc[dot]ac[dot]in) से संपर्क किया जा सकता है।)

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